Ejercicio 26

26. Un estudiante va al instituto andando o en autobús. Cuando va andando un día, la probabilidad
de que al día siguiente coja el autobús es 0’6. La probabilidad de que vaya en autobús dos días
seguidos es 0’7.¿Aproximadamente con qué frecuencia coge el autobús a lo largo de todo el
curso?

Ejercicios de Markov

Teoría de Punto de Silla

Teoría de Punto de Silla

Punto de silla

Se ha alcanzado ahora un punto en el que si A adopta la estrategia maximin a2 su pago esexactamente igual al que B espera que obtenga A sí B emplea la estrategia minimax b2. Lo interesante de este caso es que no importa si el jugador A tiene información acerca de lo que va a hacer B, yaque esta solucion a la que se ha llegado es la mejor solucion que se puede esperar si se supone queambos jugadores son seres racionales que buscarán la mejor estrategia que les haga perder lo mínimo posible. Entonces esta combinación ofrece a A y B una medida de seguridad Esto es así por que el criterio de decisión maximin de A da a A la "máxima" parte del mercado que puede impedirse a Bque reduzca más, y que la regla minimax de B ofrece a B la "mínima" parte del mercado que puede impedirse a A que aumente más.

En otras palabras las estrategias maximin y minimax conducen a los dos jugadores del juego a situaciones en las que ningún jugador tiene razón o incentivo alguno para cambiar suposición. A no desea cambiar por que cuando B juega b2, el se encuentra mejor jugando a2 que a1o a3. B no desea cambiar por que cuando A juega a2 se encuentra mejor jugando b2 que b1 o b3. Evidentemente, se ha alcanzado una situación de equilibrio.

Punto de silla

El pago en tal punto de equilibrio es la solución minimax y se conoce como punto de

silla de montar de la matriz de pagos en el sentido de que es el mínimo de sus datos de columna. Consideremos la solución del par de decisiones en nuestro ejemplo a2 y b2. Cuando A adopte a2 el pago se reduce de 9 a –8 y luego aumenta de –8 a -6. Cuando B escoge b2, su pago aumenta de –11 a –8 yluego disminuye de –8 a –10. El numero –8 en medio forma un valle cuando es visto desde la segunda fila. Yforma una cordillera cuando es visto desde la segunda columna. La solución minimax semeja exactamente una silla de montar: de ahí el nombre de "punto en silla de montar", que es a la vez un mínimo, como un vallemáximo, como una cordillera.

Contribuciones de John Nash

A principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosa el matemáticoJohn Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann se había auto- impuesto.

En el frente no cooperativo, estos parecen haber pensado que en estrategias la idea deequilibrio, no era en sí misma una noción adecuada para construir sobre ella una teoría. Sinembargo, la formulación general de Nash de la idea de equilibrio hizo ver claramente que unarestricción así es innecesaria.

Hoy día, la noción de equilibrio de Nash, la cual no es otra cosa que cuando la elecciónestratégica de cada jugador es la respuesta óptima a las elecciones estratégicas de los otros jugadores. Nash también hizo contribuciones al planteamiento cooperativo de Von Neumann.

Nash no aceptó la idea de que la teoría de juegos debe considerar indeterminados problemas de negociación entre dos personas y procedió a ofrecer argumentos para determinarlos. Sus ideas sobre este tema fueron generalmente incomprendidas y, tal vez como consecuencia deello, los primeros años de la teoría de juegos se gastaron principalmente desarrollando el planteamiento cooperativa de Von Neumann en direcciones que finalmente resultaron improductivas.

 

Recursividad

En programación es cuando un módulo se invoca a si mismo y a cada llamada al modulo se disminuye la dificultad hasta que ya no es necesario hacerlo y el problema se puede calcular fácilmente.

Teoría de Juegos

Teoría de juegos

La Teoría de Juegos se desarrollo con el simple hecho de que un individuo se relacionen con otro u otros. Hoy en día se enfrenta cotidianamente a esta teoría, en cualquier momento. Para el hombre la importancia que representa la Teoría de Juegos es evidente, pues a diario se enfrenta amúltiples situaciones que son juegos.

Actualmente la Teoría de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio. Sin embargo, la Teoría de Juegos tiene todas las respuestas a los todos problemas del mundo.

¿Qué es la teoría de juegos?

La Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les va muy bienal pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es lalógica a la inversa.

En la Teoría de Juegos la intuición no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que losmismos sean reales.

Origen de la teoría de juegos

La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern, y descriptas en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas.Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otrascontribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. Elmismo Von Neumann ya había puesto los fundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas.

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría deJuegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Von Neumann yMorgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o desuma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por unapérdida correspondiente para el otro jugador. El ajedrez, el backgammon y el póquer son juegos tratados habitualmente como juegos de suma cero.

En el segundo de ellos desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de sorprender que sus

resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann abandono todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propuso clasificar

los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales.

Aplicaciones de la teoría de juegos

La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es elprincipal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos: La economía, la ciencia política, la biología y la filosofía.

Ejemplo:

EJERCICIO 2

Un cliente acude un banco para obtener un préstamo de 5000+1000*x dólares a un año, a 18% de interés. Si el banco no aprueba el préstamo, los 50000+1000*x dólares se invertirán en bonos que ganarán un 16% anual. Sin mayores informes, el banco cree qué hay el x% de probabilidades que el cliente se declarare totalmente insolvente. En este caso, el banco pierde 50000+1000*x dólares. A un costo de 500+10*x dólares, el banco puede investigar en detalle el historial de créditos del cliente y emitir una recomendación favorable o desfavorable. La experiencia anterior indica que

p ( recomendación favorable cliente no es insolvente)= 7/16

p ( recomendación favorable cliente insolvente)=1/4

Como puede el banco maximizar sus ganancias?